从数学思想方法的高度进行概念教学
数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识,它是形成数学意识和数学能力的桥梁,是灵活运用数学知识,数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂.日本数学教育家米山国藏在《数学的精神,思想和方法》一文中曾写道:学生在初中,高中等所接受的数学知识,因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学,所以,通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了.然而不管他们从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神,数学的思维方法,研究方法,推理方法和着眼点等都随时随地发生作用,使他们受益终身.因此,在概念教学中,我们不仅要在揭示概念的内涵上下功夫,而且还应该追求解决问题的"根本大法"——基本概念所蕴含的思想方法,要从数学思想方法的高度进行概念教学.否则,如果仅仅将数学概念作为一般知识,而忽视数学概念本身所蕴含的思想方法对提高学生数学素质的作用,那么数学教学的价值必将黯然失色.
在函数概念的教学中,应突出"变化"的思想和"对应"的思想.
从概念的起源来看,函数是随着数学研究事物的运动,变化而出现的,它刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存关系,这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系.因此,变化是函数概念产生的源头,是制约概念学习的关节点,同时也是概念教学的一个重要突破口.当学生面对问题1中s=60t的时候,虽然对于每个给定的t的值,他们都能计算出与之对应的s的值,但此时绝大多数学生只是将这一行行的式子当作孤立的算式,将一个个数值简单地填入表中,其目的只是运用关系式算出答案,而并没有真正体会到在这个过程中变量t的变化将引起变量s也随之变化.所以,教师要通过大量的典型的实例,尽可能多地取自变量的值,得到相应的函数值,让学生反复观察,反复比较,反复分析每个具体问题中的量与量之间的变化关系,把静止的表达式(或曲线,表格)看作动态的变化过程,让他们从原来的常量,代数式,方程和算式的静态的关系中逐渐过渡到变量,函数这些表示量与量之间动态的关系上,进而使学生的认识实现由静态到动态的飞跃.
从概念的本质上看,函数是一种特殊的对应——单值对应.对于"对应",学生并不陌生.譬如,小学乘法运算中2的乘法公式,被乘数取1,2,3,4,5,6,7,8,9时,即可得到乘积2,4,6,8,10,12,14,16,18,此时学生对乘积与被乘数的"对应"关系已有一些朦胧的认识.到了初中,在学习函数概念之前,教材已渗透了"对应"的思想,如绝对值是实数到非负实数的对应(而且是单值对应),有理数到数轴上的点是对应(而且是单值对应),实数与数轴上的点是一一对应(此时教材正式使用"对应"术语).由于学生对"对应"的思想已有一些初步的认识,因此,在函数概念教学时,教师应通过具体实例的分析让学生进一步"感受"对应的思想,使其由"感受"向"领悟"靠近.同时,还应当通过非概念变式让学生明确函数中"对应"是"单值"对应,即只有"唯一"确定的变量y与变量x对应.
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